연속확률변수 $X$의 확률밀도함수 $f$가 다음을 만족할 때, $X$를 구간 $[a,b]$에서 균등 분포를 따른다고 한다. 즉, $X \sim Unif(a,b)$
$$ f(x) = \frac{1}{b-a}, \ a<x<b $$
$X \sim Unif(a,b)$의 기댓값 $\mathbb{E}(X) = \frac{b+a}{2}$이고, 분산은 $Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$이다.
Note. (Inverse transformation sampling) 연속확률변수 $X$의 누적분포함수 $F_X:\mathbb{R} \rightarrow [0,1]$가 연속인 순증가함수이고, 두 실수 $a,b$에 대해 $F_X(a)=0,F_X(b)=1$이라고 하자. 그러면 $F_X:[a,b] \rightarrow [0,1]$의 역함수 $F_X^{-1}: [0,1] \rightarrow [a,b]$가 존재하고, $U \sim Unif(0,1)$에 대해 확률변수 $X^* = F_X^{-1}(U)$이다.
연속확률변수 $X$의 확률밀도함수 $f$가 $\mu \in \mathbb{R}, \ \sigma >0$에 대하여 다음을 만족할 때, $X$를 평균이 $\mu$이고 분산이 $\sigma^2$인 정규 분포를 따른다고 한다. 즉, $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$
$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}, \exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}), \ x\in\mathbb{R} $$
$X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$의 기댓값 $\mathbb{E}(X) = \mu$이고, 분산은 $Var(X) = \sigma^2$이다.
Note. (정규분포의 선형성) $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$에 대해, 두 실수 $a\neq0, \ b\in\mathbb{R}$에 대하여,
$$ aX + b \sim \mathcal{N}(a\mu+b, a^2\sigma^2) $$
다변량 정규분포
$X \sim \mathbb{R}^n,\mu \in \mathbb{R}^n, \Sigma\in\mathbb{R}^{n \times n}$에 대해 $X\sim\mathcal{N}(\mu,\Sigma^2)$라면, 결합 확률밀도함수는